こんにちは、ステラ様、LotR（英語）なんでも板にも、ようこそ。

＞（吹）やめろ！フロド様が吐いちゃうだろう!?
＞「吐いちゃう」の意味が英語のせりふにあるのかないのか？

そうなんです。ここは「吹替えが行き過ぎ」との指摘が出ています。
ご質問の答はひとことで言えば「そこまでは言ってない」です。
白い都様の連絡室ご投稿、転載させていただきますと

http://miyako.cool.ne.jp/cgi-bin/treebbs/treebbs.cgi?log=2116

>Make him sick you will, behaving like that.
＞直訳：そんなことをしたら、フロド様が気持ち悪くなるだろう。

意味はこの白い都様の訳で完全に正しいです。sick だけなら「病気」もありますが、
make +人+ sick だと、「気分悪い、むかむかする」で、船酔いとかのように純粋に身体的条件によるものも、精神的なものも両方入ります（日本語と同じですね）。
実際に「吐く」となると、他の表現（全然別の動詞）を使います。
したがって、「吐きそう」と自分が言うならまだいいのですが、「吐いちゃうだろ」は、ちょっと線踏み越えてるかな、というところでしょう。

個人的にも、ここのフロドの涙を浮かべる表情は解釈が分かれるとはいえ（女の子みたいに怯えてるのか、ゴラムが哀れで悲しいのか？など）、少なくともフィジカルに「吐きそう」って感じではないので、抵抗ありです。
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なお、連絡室＃2097では
＞字幕：そんなマネ！／ウサギの食べ方は決まってる
＞吹替：旦那さんが吐いちまうだろ

となっているのですが、ステラ様はメモでなく記憶でお書きになりましたか？
もし、確実に＃2411ご投稿の通りであったのでしたら、お手数ですがひとことお知らせ下さいますか。
また、確信もって補完できる方がありましたらどうぞよろしく。＞皆様

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